Lý thuyết xác suất thống kê
Bài tập xác suất thống kê là một tài liệu rất bổ ích gồm nhiều chuyên đề. Mỗi chuyên đề gồm cơ sở lý thuyết. Ví dụ minh họa và bài tập luyện tập
Bài tập xác suất thống kê gồm:
- PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ.XÁC SUẤT.CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN
- ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
- CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
- MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP
Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển:
Giả sử một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m biến cố
sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa bởi công
thức sau:
Bài tập tính xác suất dựa vào định nghĩa cổ điển:
Ví dụ 1.19: Tung ngẫu nhiên một con súc sắc. Tính xác suất để súc sắc xuất hiện ở mặt trên là chẵn.(Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 5).Giải: Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt trên là i chấm.Gọi A là biến cố xuất hiện mặt trên là chẵn, ta có A = A2 A4A6. Khi tung con súc sắc có 6 biến cố đồng khả năng có thể xảy ra trong đó có 3 biến cố thuận lợi cho A nên
Tính xác suất của biến cố
Ví dụ 1.20: Tung ngẫu nhiên đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất
hiện ở hai mặt trên của 2 con súc sắc là 7.Giải : Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên của 2 con súc sắc là 7.Ailà biến cố súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt trên là i chấm (i 1,6) .Bi là biến cố súc sắc thứ hai xuất hiện mặt trên là i chấm (i 1,6) .Khi ta tung 2 con súc sắc cùng lúc thì có 36 biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, Và có 6 biến cố thuận lợi cho biến cố A:
Bài tập về xác suất của biến cố:
Ví dụ 1.21: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối của số điện thoại, chỉ biết
rằng hai số đó là khác nhau. Tính xác suất để người đó chỉ bấm số một lần đúng số cần gọi.Giải: Gọi B là biến cố người đó chỉ quay một lần đúng số cần gọi.Số biến cố thuận lợi cho B là: m = 1
Số biến cố đồng khả năng có thể xảy ra là: 2.
Các dạng toán xác suất
Ví dụ 1.22: Một hộp gồm 6 bi trắng và 4 bi đen, lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. Tính xác suất đểa) Có 1 bi trắng.b) Có 2 bi trắng.Giải: Gọi A là biến cố có 1 bi trắng trong 2 bi lấy ra.
Gọi B là biến cố có 2 bi trắng trong 2 bi lấy ra.P(A) =(Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 6)
Ví dụ 2.23: Trong một hộp đựng 20 quả cầu trong đó có 14 quả cầu đỏ và 06 quả cầu trắng.Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 5 quả cầu từ trong hộp. Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ. Biết rằng các quả cầu là cân đối và giống nhau. Giải: Gọi A là biến cố trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng.Số cách lấy 3 quả cầu đỏ: 3 C14. Số cách lấy 2 quả cầu trắng: 2 C6
Công thức xác suất tổng quát
Tổng quát: Cho một hộp đựng N quả cầu cân đối và giống nhau trong đó có M quả cầu đỏ
(M< N) và (N – M) quả cầu trắng.
Nhận xét:
Khi tính xác suất của các biến cố, ta không cần phải chỉ ra các biến cố sơ cấp có thể
xảy ra và các biến cố sơ cấp thuận lợi mà chỉ cần chỉ ra số các biến cố sơ cấp có thể xảy ra,
số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho các biến cố đó. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có hạn chế là: Chỉ xét cho hệ hữu hạn các biến cố sơ cấp, không phải lúc nào cũng phân tích được thành các biến cố đồng khả năng.
Định nghĩa xác suất theo lối thống kê:
Giả sử thực hiện 1 phép thử nào đó n lần độc lập (kết quả của phép thử sau không phụ
thuộc vào kết quả của phép thử trước), trong đó biến cố A xảy ra m lần.Khi đó: m gọi là tần số xuất hiện của biến cố A.gọi là tần xuất của biến cố A.Hy vọng tài liệu giúp các em sinh viên tham khảo và học tập tốt phần toán ứng dụng này.
