Tìm ma trận nghịch đảo và tìm lũy thừa bậc n của ma trận.
Tài liệu giới thiệu các đề thi về ma trận, cách tìm ma trận nghịch đảo, tìm lũy thừa bậc hai, bậc 3, bậc n của ma trận, thực hiện tính toán trên ma trận
Tìm ma trận khả nghịch
Ví dụ 1:(Đợt 1 năm 2016, đợt 1 năm 2020) Cho ma trận A. a) Tìm các giá trị riêng và vector riêng của A. b) Hãy tìm ma trận khả nghịch P sao cho có dạng tam giác trên. Xác định B.
Tìm giá trị riêng vec tơ riêng của ma trận
Ví dụ 2 (Đợt 2 năm 2016))a)Cho là một tự đồng cấu tuyến tính xác định bởi:Tìm giá trị riêng, vector riêng của f và một cơ sở của sao cho ma trận của f có dạng chéo.
Phép tự đẳng cấu tuyến tính
Phép tự đẳng cấu tuyến tính của không gian Euclid E được gọi là phép biến đổi trực
giao nếu f bảo toàn tích vô hướng, tức là. Chứng minh nếu f là phép biến đổi trực giao của E và W là một không gian con bất biến của E đối với f thì phần bù trực giao của W trong E cũng bất biến đối với f.
Giải.a)Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của Đa thức đặc trưng. Suy ra A có các giá trị riêng là λ = -2 (bội 2) và λ = 4. c không gian riêng.Ta có các véctơ riêng v1, v2, v3 độc lập tuyến tính trong nên A chéo hoá được. Suy ra v1, v2, v3 là sao cho ma trận của f có dạng chéo.
Phép biến đổi trực giao
Giả sử f là phép biến đổi trực giao của E và W là không gian con bất biến đối với f . Gọi U
là phần bù trực giao của W trong E. Ta chứng minh U cũng bất biến đối với f. Thật vậy, theo giả thiết f là phép đẳng cấu tuyến tính và W là bất biến đối với f nên f (W) =W. Suy ra với mọi y W, tồn tại x W sao cho y = f (x).
Phần bù trực giao
Bây giờ xét z f(U), tồn tại u U sao cho z =f(u).Khi đó zy =f (u) f(x) = ux = 0 (do U là phần bù trực giao của W). Hay z trực giao với y, với mọi yє W. Suy ra z U. Vậy f(U) U. Hay U là bất biến đối với f. Câu 2.10 Cho dạng toàn phương thực sau đây:
Tìm một cơ sở trực chuẩn để đưa H về dạng chính tắc.
Ví dụ 3: (Đợt 1 năm 2017)Ma trận của H là. A có đa thức đặc trưng là và 2 giá trị riêng là . A có 1 vector riêng ứng với giá trị riênglà .A có 2 vector riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng là .
Cơ sở trực chuẩn
Trực chuẩn hóa hệ ta thu được cơ sở trực chuẩn {Với cơ sở trực chuẩn trên, H có dạng chính tắc làCâu 2.11 Cho dạng toàn phương thực H trên có biểu thức tọa độ: và gọi A là ma trận của H đối với cơ sở chính tắc trong.
Giá trị riêng và vector riêng
.a)Xác định giá trị riêng và vector riêng của A.
b)Hãy tìm một ma trận trực giao (hoặc một cơ sở trực chuẩn của) để đưa H về dạng chính tắc.+ có đa thức đặc trưng. ta thu được cơ sở trực chuẩn của gồm 3 vector. Đây là cơ sở trực chuẩn của làm cho H có dạng chính tắc
Không gian con riêng
Ví dụ 4:(Đợt 1 năm 2018):Cho ma trận. Chứng minh rằng A chéo hóa được và tìm một ma trận không suy biến P sao cho có dạng chéo. Giải. Đa thức đặc trưng. Suy ra A có 2 giá trị riêng và .Các không gian con riêng nên A chéo hóa được.
Chéo hóa ma trận
Ví dụ 5:(Đợt 2 năm 2018) Cho ma trận Hãy chéo hóa ma trận A.Giải. Đa thức đặc trưng. Suy ra A có 2 giá trị riêng và .Các không gian con riêng nên A chéo hóa được.là một tự đồng cấu tuyến tính xác đinh bởi.
Ví dụ 6: Xét tính chéo hóa của tự đồng cấu tuyến tính . ( là trường số phức) (Đợt 1 năm 2019)
Giải. Trong cơ sở chính tắc của , f có ma trận biểu diễn là có 3 nghiệm phân biệt trong . Do đó A chéo hóa được, tức f chéo hóa được.
Ví dụ 7: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n trên cùng một trường K. Chứng minh rằng hai ma
trận AB và BA có cùng tập hợp các giá trị riêng. (Đợt 2 năm 2019)
Giải. Giả sử là môt giá trị riêng của AB, khi đó tồn tại mà .Khi đó hay ..Nếu thì hệ thức trên chứng tỏ là một giá trị riêng của BA..Nếu thì từ ta có . Suy ra , do nên .Khi đó hay 0 là một giá trị riêng của BA. Vậy ta đã chứng minh, trong hai trường hợp trên, cũng là một giá trị riêng của BA.
Chứng minh tương tự, mọi giá tri riêng của BA cũng là gia trị riêng của AB.
Ví dụ 8: Phép tự đẳng cấu tuyến tính của không gian vector Euclid E được gọi là phép
biến đổi trực giao nếu f bảo toàn tích vô hướng, tức là .
Tìm ma trận nghịch đảo và tìm lũy thừa bậc n của ma trận.
P13Xem file PDF MA TRẬN, MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO, LŨY THỪA BẬC n CỦA MA TRẬN
