Ứng dụng của định lý Caykey-Hamilton để tìm lũy thừa bậc n của ma trận

Ứng dụng định lý Caykey Hamilton để tìm lũy thừa bậc n của ma trận vuông

Tìm ma trận nghịch đảo của bài toán đại số tuyến tính. Đây là định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây ta sẽ xem xét ứng dụng của nó trong việc. tính toán lũy thừa và tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2.

Định lý Cayley-Hamilton

This is the basic theorem of linear algebra. In this paper, we will consider about itsapplications in calculating the power and finding the inverse matrix of quare matrix level 2.Trong bài viết này ta ký hiệu E, O lần lượt là ma trận đơn vị, ma trận không cùng cấp với ma trận tham gia trong biểu thức.

1. Định lý Cayley-Hamilton

Cho T là ma trận vuông cấp n. Đa thức đặc trưng của T bậc n là định thức. Chứng minh định lý trên có thể tham khảo tại các giáo trình. Đại số tuyến tính hoặc tại blog của GS Ngô Bảo Khi T là ma trận vuông cấp 2 ta thu được kết quả sau:

Theo định lý Cayley-Hamilton ta có:

Từ đây, phép tính lũy thừa bậc n của ma trận được đưa về tính lũy thừa bậc (n-1) và chuyển dần về phép nhân 1 số với ma trận và đương nhiên, quá trình tính toán được đơn giản đi nhiều.

Từ nhận xét ở trên ta có thể nghĩ đến việc tính n A (n 1,2,3,…) = . Khi gặp loại toán này, phương pháp quen thuộc mà ta nghĩ đến chính là phương pháp quy nạp toán học từng được dùng để tính số hạng tổng quát của dãy số hay tính đạo hàm cấp n của một hàm số. Nội dung của phương pháp này là tính một số số hạng ban đầu, dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh dự đoán bằng quy nạp toán học.

Lũy thừa bậc n của ma trận

A là ma trận đặc biệt, ta dễ dàng đoán được An , tuy nhiên, khi A là ma trận bất kỳ, như trong ví dụ 1, ta rất khó tìm ra quy luật để dự đoán An, đây cũng là hạn chế của phương pháp này. Bây giờ ta sẽ suy nghĩ phương pháp sử dụng định lý CayleyHamilton để giải quyết bài toán này!

Trước hết, ta thấy rằng đa thức đặc trưng của A là đa thức bậc hai, vì vậy có thể phân
tích (2) thành dạng: (A – αE)(A – βE) = 0 (tất nhiên có cả trường hợp α, β ∈ C tuy nhiên
trong phạm vi bài này ta tạm thời giới hạn α, β ∈ R).

2.1.1. Trường hợp α β ≠ Khi đó từ ( )( ) 0 ( ) ( ) A E A E A EA A E − − =⇒ − = − α β α αβ
Từ đó bằng quy nạp toán học ta dễ dàng chứng minh được:(**)

Hoàn toàn tương tự, ta có: n n (A E)A (A E) −β = −β α (ii)
Theo định lý Cayley-Hamilton ta có: − + =⇒ − − = 2 A A E A EA E 5 6 0 ( 2 )( 3 ) 0
Ta có: ( 2 )( 3 ) 0 ( 2 ) 3( 2 ) A E A E AA E A E − − =⇒ − = −

Bằng quy nạp toán học ta dễ dàng chứng minh được:

Lập luận tương tự ta thu được:2.1.2. Trường hợp α β =Khi đó (2) trở thành: 2 ( ) AE O − = α. Đặt: A EB A EB − =⇒= + α α với 2 B O= .

Áp dụng khai triển nhị thức Newton:

Áp dụng (4) với α = 2 ta được:
Trong phương pháp trên, ta sử dụng phân tích biểu thức thành nhân tử. Nếu nhìn
theo khía cạnh đa thức, đa thức đặc trưng của ma trận A:
2 φλ λ λ () ( ) ( ) = −+ + − a d ad bc . Gọi α β, là hai nghiệm của φ λ( ).
– Trường hợp α β ≠
Theo định lý về phép chia đa thức, tồn tại đa thức Q( ) λ và các số p, q sao cho:
Lần lượt thay λ α= vào hai biểu thức trên ta có: