Bài tập đại số tuyến tính bao gồm:
Chúng tô giới thiệu vài tập về ánh xạ tự đồng cấu tuyến tính, Không gian vectơ. Vectơ riêng, giá trị riêng, sự chéo hóa. NhómVành, vành đa thức, trường. Trước hết ta nắm thêm một số khái niệm:
Ánh xạ tự đồng cấu tuyến tính:
Cho V là một không gian vector n-chiều và S là một cơ sở của V. Giả sử f: V -V là một
tự đồng cấu tuyến tính của V và A là ma trận của f đối với cơ sở S. Kí hiệu imf là ảnh và Kerf là
hạt nhân của f.
Ảnh và hạt nhân của một ánh xạ tự đồng cấu tuyến tính
Cho f là một đồng cấu tuyến tính của không gian n-chiều V trên trường . Ký hiệu Kí hiệu imf là ảnh và Kerf là hạt nhân của f. Chứng minh rằng V=imf+Kerf khi và chỉ khi imf=im(f0f) và Kerf=ker(f0f)
Hạng của ma trận:
Cho là một phép tự đồng cấu tuyến tính của không gian vector n-chiều V. Hạng của f , kí
hiệu rank(f) ,được định nghĩa là số chiều của im(f )và số khuyết của f , kí hiệu def(f), được định
nghĩa là số chiều của ker(f).
a)Chứng minh rằng nếu A là ma trận của f đối với một cơ sở nào đó của V thì rank(f)=rank(A)
b)Chứng minh rằng rank(f)+def(f)=n
Ánh xạ đơn cấu, song cấu, toàn cấu
Cho là không gian vector các đa thức biến lấy hệ số trên trường và là một số tư nhiên. Xét đồng cấu xác định bởi ( ), trong đó là đạo hàm của . Chứng minh rằng là môt đơn cấu nhưng không phải là một toàn cấu.(Đợt 2 năm 2012)
Không gian Euclid
Câu 1.4 Cho là một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector hữu hạn chiều trên trường K. Chứng minh rằng: a)Nếu A là một không gian con k-chiều của V sao cho là một không gian con r-chiều thì. b)Nếu B là một không gian con của W sao cho là một không gian con s-chiều thì của A.
Chứng minh ánh xạ là toàn cấu
a) là toàn cấu tuyến tính nhưng không phải là đơn cấu.b) là đơn cấu tuyến tính nhưng không phải là toàn cấu.(Đợt 2 năm 2014)Giải. Có thể kiểm tra và là các đồng cấu tuyến tính.a)Với bất kỳ, tồn tạiuy ra hay. Vậy là đơn cấu. Do nên không là toàn cấu.
