không gian định chuẩn-bài tập giải tích hàm
Hướng dẫn giải các bài tập về không gian định chuẩn của giảm tích hàm.
- Không gian định chuẩn
- Không gian liên hiệp
- Hội tụ yếu
- Định ý cayly-hamiton
CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Bài 1: Cho không gian tuyến tính X
Tập A X được gọi là tập lồi nếu x, yA và t [0,1] ta có tx (1 t) y A
Một tổ hợp lồi của các vecto x1
, x2
,…xn A là một tổng có dạng
(a) Chứng minh nếu A là tập lồi thì mọi tổ hợp lồi các vecto của A đều thuộc A
(b) Cho M X . Chứng minh tập tất cả các tổ hợp lồi các vecto của M là một tập
lồi. Hơn nữa đó là tập lồi nhỏ nhất chứa M
Giải:
(a) Chứng minh nếu A lồi thì t x A
Dùng phương pháp quy nạp
Với n=2. Khi đó ta có 1 2 2 1
(1 ) (do A lồi)
Giả sử bài toán đúng với n-1 tức là t x A
Cần chứng minh bài toán đúng với n tức là chứng minh t x A
Xét trường hợp 1 n
khi đó:
Bài tập Giải tích hàm
Nên theo giả thiết quy nạp ta có y t x A
xn A (do A lồi)
Vậy t x A
(b) Gọi Conv(M ) là tập tất cả các tổ hợp lồi các vecto của M
Rõ ràng Conv(M ) đóng với phép toán tổ hợp lồi nên Conv(M ) lồi
Ta đi chứng minh
Bài 2: Trong không gian tuyến tính (1) C[a,b]. các hàm có đạo hàm lien tục trên [a,b],
các hàm p (i 1,2,3) sau đây có là chuẩn không?
Bài 3: Chứng minh trong không gian định chuẩn (X ,|| .||) thì hình cầu đơn vị
S {x X : x 1} là tập lồi. Ngược lại, nếu trong không gian tuyến tính X cho
ứng mổi x X với một số || x || sao cho
i) x 0 nếu x 0
x 0 nếu x 0
ii) x | | x
iii) Hình cầu S {x X : x 1} lồi thì x là một chuẩn trên X
Giải:
Chứng minh S {x X : x 1} là tập lồi
Với x, y S , t [0,1] khi đó do x, y S x , y 1
Xét tx (1 t) y tx (1 t) y t x (1 t) y t 1 t 1
tx (1t) y S;x, y S nên S là tập lồi
Chứng minh x là một chuẩn trên X
Ta chỉ cần kiểm thêm tiên đề BĐT tức là chứng minh:
Vậy ta chứng minh BĐT (*)
Đặt [0,1]
không gian định chuẩn-bài tập giải tích hàm
Do S lồi nên tx’(1 t) y’ S tx’(1 t) y 1 1
Vậy x là một chuẩn trên X
Bài 4: Xét sự hội tụ của dãy
trong C[0,1]
Giải:
với t [0,1]
x (t) n
là hàm đồng biến
t [0,1] ta có
Rõ ràng khi cho n thì x (t) 0 n
Bài 5: Giả sử x là chuẩn trong R. Với 2
1 2
x (x , x ) R , chứng minh các chuẩn
sau tương đương.
sup{ , } 1 2
BCS
1 2 (2)
x x x x x x x x x x x x 1 2
x x x 2sup{ x , x } 2 x 1 2 1 2 (4)
Từ (1) và (4) a
x tương đương b
x (5)
Từ (2) và (3) b
x tương đương
Bài 6: Cho M là không gian con đóng của không gian định chuẩn X
M X . Chứng minh tồn tại x0 X sao cho x0 1 và x y ,y M
Giải:
Vì M đóng, M X nên \ : ( , ) inf 0
z X M d d z M z y
y M
: y0 M d z y0 2d (*)
Đặt
. Rõ ràng x0 1. Với y M ta có:
Vì y0 y z y0 M nên theo (*) ta có z ( y0 y z y0
) d và z y0 2d
Suy ra
Bài 7: Chứng minh trong không gian định chuẩn vô số chiều X đều có một dãy
phần tử trong hình cầu đơn vị sao cho khoảng cách giữa hai phần tử bất kỳ lớn
hơn
Giải:
Cho X là không gian định chuẩn vô số chiều
Chọn x1 X sao cho x1 1 (ta luôn chọn được vì nếu giả sử x1 1 thì ta chọn
x thì khi đó 1
Đặt ({ }) 1 1 M L x thì M1
là không gian con đóng sinh bởi 1
x , hiển nhiên M1 X do X
vô số chiều
Áp dụng bài 6 ta có x 2 X : x 2 1 và
x2 y với M1 y
Đặc biệt:
Đặt ({ , }) 2 1 2 M L x x thì M 2
là không gian con đóng sinh bởi { , } 1 2
x x , hiển nhiên
M 2 X do X vô số chiều
Áp dụng bài 6 ta có x3 X : x3 1 và
x3 y với M 2 y
Đặc biệt:
x3 x1 x3 x2
Tiếp tục quá trình chọn ta sẽ được dãy {xn
}n X : xn 1 (hình cầu đơn vị)
xn xm với n m
Bài 8: Chứng minh C[0,1] với chuẩn | ( ) | , ( ) , 1 [0,1]
không là
không gian Banach.
Giải:
Chứng minh
Xem chi tiết bài tập giải tích hàm
P21
Xem file PDF Bài tập giải tích hàm không gian định chuẩn
