Lý thuyết độ đo và tích phân-Giáo trình giải tích hàm có ví dụ minh họa

Lý thuyết độ đo và tích phân

Cung cấp lý thuyết và ví dụ minh họa và nhiều bài tập có hướng dẫn giải của giải tích hàm gồm:

Chương I: Độ đo dương- hàm số đo được

Chương II: Tích phân với độ đo dương tổng quát

Chương III: Độ đo dương thông dụng

Chương IV: Công thức biến đổi

Chương V: Tích phân trên không gian tích

Lý thuyết độ đo và tích phân

Chương 1. ĐỘ ĐO DƯƠNG-HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
1. TẬP ĐO ĐƯỢC

A. Ta nhắc lại một số phép toán về họ tập hợp. Cho X là tập khác trống và I là tập
các chỉ số. Nếu ứng với một chỉ số i ∈ I, ta có duy nhất một tập con Ai ⊂ X, ta nói
rằng ta có một họ tập hợp ký hiệu là Aii∈I, hay Aii∈I, hay Ai,i ∈ I, hay Ai,i ∈ I.
Ta định nghĩa phần giao của họ tập hợp Aii∈I, là tập con của X được ký hiệu là
Ta định nghĩa phần hội của họ tập hợp Aii∈I, là tập con của X được ký hiệu là

Các qui tắc về dấu (âm, dương) tương tự như phép nhân thông thường), chẳng
hạn

C. Giới hạn trên limsup và giới hạn dưới liminf.
C1. Giới hạn trên limsup. Ta cho dãy số an ⊂ , ta đặt
i Nếu an không bị chận trên, ta đặt n→
lim sup an  .
ii Nếu an bị chận trên, ta đặt
bk  supak,ak1,ak2,… 

Các qui tắc về dấu (âm, dương) tương tự như phép nhân thông thường), chẳng
hạn

sup an, k  1, 2, 3,…. #
Khi đó, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥…
ii1 Nếu bk không bị chận dưới, ta đặt n→
lim sup an  −.
ii2 Nếu bk bị chận dưới, thì bk ↘
C2. Giới hạn dưới liminf. Xét dãy số an ⊂ , ta đặt
i Nếu an không bị chận dưới, ta đặt n→
lim inf an  −.

ii Nếu an bị chận dưới, ta đặt
ck  infak,ak1,ak2,… 
n≥k
inf an, k  1, 2, 3,…. #
Khi đó, c1 ≤ c2 ≤ c3 ≤…
ii1 Nếu ck không bị chận trên, ta đặt n→
lim inf an  .
ii2 Nếu ck bị chận trên, thì ck ↗

Chú ý 1: Đôi khi người ta cũng dùng các ký hiệu n→

Chú ý 2: Ta cũng định nghĩa n→
lim sup an, n→
lim inf an cho dãy an ⊂ , như sau
Chú ý 6: Ta cho dãy số an ⊂ , ta đặt
A  a ∈  : a  k→
lim ank , với ank là dãy con của an . #
4

Khi đó tồn tại amax, amin ∈ A sao cho amin ≤ a ≤ amax, ∀a ∈ A. Khi đó ta có
n→
lim sup an  amax và n→
lim inf an  amin. #
Ví dụ. (Xem như bài tập). Cho dãy số thực an, sao cho n→
lim sup an ≤ 0 ≤ an với
mọi n ∈ ℕ. Chứng minh rằng an → 0.

C3. Cho dãy hàm fn, fn : X → . Khi đó n
sup fn, n
inf fn, n→
lim sup fn và n→
lim inf fn là
các hàm được xác định trên X bởi
lim fnx, tồn tại ở mọi x ∈ X, khi đó ta gọi f là giới hạn từng điểm
của dãy fn.

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác trống.

Một họ M các tập con của X được gọi
là một  − đại số trong X nếu các điều kiện sau đây thỏa:
i X ∈ M,
ii Nếu A ∈ M thì X  A ∈ M,
iii Nếu Aj ∈ M, j  1, 2,… thì j1  Aj ∈ M.

Định nghĩa 1.1.2. Nếu X có một  − đại số M trong X thì ta gọi cặp X,M (hoặc
vắn tắt X) là một không gian đo được (measurable space),

Lý thuyết độ đo và tích phân-Xem chi tiết toàn bộ giáo trình

Xem file PDF GIÁO TRÌNH ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN