Bài tập giải tích hàm
Tích phân hàm nhiều biến -Hướng dẫn giải các bài tập giải tích hàm các hàm nhiều biến gồm:tìm tích phân, chứng minh tính liên tục, tính khả vi…
Giải các bài tập về chuỗi như tìm miền hộ tụ hoặc tính tổng cuối cùng là tìm tích phân của hàm nhiều biến
Chứng minh tính liên tục của hàm nhiều biến
Ví dụ 1: Khảo sát tính liên tục trên ℝ2 của hàm hai biến sau: ? (?, ? )=
Chứng minh f(x;y) liên tục trên ℝ2. Hướng dẫn giải:Suy ra lim ?,? → 0;0 ? ?, ? = 0 = ? 0; 0 . Do đó ? liên tục tại 0; 0 .Trên ℝ2 ∖ 0; 0 hàm ? ?, ? là hàm số sơ cấp nên liên tục. ∎
Viết khai triển hữu hạm trong lân cận của x0
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng, hàm ?: ℝ → ℝ, ? ? = ?? có hàm ngược ?−1: ℝ → ℝ. Hãy viết khai triển hữu hạn trong lận cận của ? = 0 cho hàm ?−1 đến bậc 5. Hàm ? thuộc lớp ?1 trên ℝ và∀? ∈ ℝ.
?ngoài ra lim?→−∞ ? ? = −∞ và lim?→∞ ? ? = ∞ nên ? là song ánh. Vì ? thuộc lớp ?∞nên ?−1cũng thuộc lớp ?∞. vậy ?−1có khai triển hữu hạn tại lân cận của 0. Mặt khác do ? là hàm lẻ nên ?−1lẻ, vậy tồn tại ?, ?, ? ∈ ℝ sao cho: nếu (?; ?) ≠ 0; 0 0 nếu (?; ?) = 0; 0 .
Hãy khảo sát tính khả vi của hàm ? trên ℝ2. . Tìm tập hợp ? ⊂ ℝ2. sao cho. ? = ?; ? ∈ ℝ2. : ∇? ?; ? = 0; 0 .
Khảo sát tính khả vi của hàm số
Ví dụ 3: Cho Hàm ? là hàm số sơ cấp trên miền ℝ2 ∖ (0; 0) nên khả vi trên miền này. ∀ (?, ?) ≠
(0; 0) ta có Nên ? khả vi tại (0; 0) .
Vậy tọa độ các điểm của tập ? thỏa mãn hệ thức sau:
(?, ?) = (0; 0 )hayDo đó ? chính là tập gồm các điểm nằm trên hai trục tọa độ của mặt phẳng ???.∎
Tính chất của hàm khả vi
Ví dụ 4: Cho các hàm ? và ? xác định trên tập mở. ? ⊂ ℝ, ?0 ∈ ?. Chứng minh rằng, nếu ? liên tục tại ?0, ? khả vi tại ?0 và ? ?0= 0 thì tích ?. ? cũng khả vi tại ?0
Hướng dẫn giải:
Do ? ?0= 0, ? liên tục và ? khả vi tại ?0 nên nếu (?; ?) ≠ (0; 0) 0 nếu ?; ? = 0; 0 .
Khi ?; ? ≠ 0; 0 ,? ?; ? liên tục theo tính chất của các hàm số sơ cấp.
? ?; ? − ? 0; 0 =0 nên ? ?; ??;? → 0;0 ? 0; 0 ⇒ ? liên tục tại 0; 0 .∎
Tính các đạo hàm riêng:
Ví dụ Cho hàm nếu ?, ? ≠ 0; 0 0 nếu ?, ? = 0; 0 .Chứng minh hàm? liên tục tại 0; 0 .
Tính các hàm đạo hàm riêng ??có liên tục tại 0; 0 hay không?2 nên→ 0, khi ?, ? → 0; 0 .3
Vậy ? liên tục trên ℝ2. Ta cónếu ?, ? ≠ 0; 00 nếu ?, ? = 0; 0 .
Tính liên tục của hàm số trên R2
Ví dụ: Cho hàm số nếu ?; ? ≠ 0; 0. 0 nếu ?; ? = 0; 0 .
Hãy khảo sát tính liên tục của các hàm ? và ??. là hàm số sơ cấp trên miền ℝ2 ∖ 0; 0 nên liên tục trên miền này.
Hướng dẫn giải:Mặt khác, do nên ? liên tục tại 0,0 .Vậy ? liên tục trên ℝ2.
Với mọi ? ∈ ℕnên ?? ′ không liên tục tại 0; 0 .∎
Khảo sát tính khả vi của hàm số:
là các hàm số sơ cấp trên miền ℝ2 ∖ 0; 0 nên liên tục trên miền này ; do
đó hàm ? khả vi trên ℝ2 ∖ 0; 0 .
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Ví dụ 1. Tìm miền hội tụ và tính tổng (trên miền hội tụ) của chuỗi lũy thừa:
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là ? = 1.
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là −1; 1 .
2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa:
