Một số ứng dụng của đa thức đối xứng ba biến
Định lí Vi-ét với phương trình bậc ba. Định lí Vi-ét thuận.Định lí: Giả sử phương trình có 3 nghiệm . Khi đóĐịnh lí Vi-ét đảo.Định lí: Nếu 3 số thỏa mãnthì là nghiệm của phương trình
Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm
Bài toán 1.1 Tìm hệ thức giữa các hệ số của phương trình (*). Biết rằng phương trình có 3 nghiệm mà một nghiệm bằng tổng hai nghiệm còn lại
Giải:Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm là và . Khi đóTừ (1)Thay vào (2) ta đượcThay vào (3) ta được
Bài toán 1.2 Nếu phương trình (*) có các hệ số thỏa mãn hệ thức thì nó có ít nhất một nghiệm làGiảiTa có Như vậy nếu thì phương trình (*) có một nghiệm là
Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Ta có các biểu thức đối xứng điển hình giữa các nghiệm của phương trình bậc ba. Chú ý. Nếu ta đặt. Ta có, Gọi là nghiệm của phương trình Đặt. Khi đó ta có
Bài toán 2.1 (CHDC Đức,1970) Cho là 3 nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng. GiảiÁp dụng định lí Vi-ét ta cóKhi đóDo đó
Bài toán 2.2 (Việt Nam,1975) Không giải phương trình. Hãy tính tổng các lũy thừa bậc 8 của các nghiệm. Giải. Giả sử là các nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Vi-ét ta có. Từ phương trình đã cho ta được. Như vậy ta có
Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Bài toán này được giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ. Ta thực hiện theo các bước sau:
-Bước 1: Điều kiện cần : Giả sử phương trình có 3 nghiệm . Khi đó, ta có hệ thức Vi-ét giữa các nghiệm
-Bước 2: Biểu diễn điều kiện thông qua hệ thức ở bước 1, từ đó tìm được điều kiện cho tham số
-Bước 3: Điều kiện đủ
Chú ý: Điều kiện thường là một biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn
Ta phải chứng minh với thì (**) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức là chứng Đúng với mọi Vậy với thỏa mãn điều kiện đề bài
Bài toán 3.2 (Áo,1983) Tìm a để các nghiệm của đa thức. Đặt . Bài toán trở thành : Tìm để các nghiệm của đa thức. Vậy giá trị cần tìm của là
BÀI TOÁN 4 Một số dạng khác
Bài toán 4.1 (Canada,1982). Cho có hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu đa thức có một nghiệm bằng tích 2 nghiệm còn lại thì
Bài toán 4.2 (Việt Nam,1980). Phương trình có thể có 3 nghiệm là số hữu tỉ được hay không? Tại sao?
Bài tập vận dụng
Bài 1. Chứng minh rằng nếu có các nghiệm phân biệt thì
Bài 2. Biết rằng tất cả các nghiệm của phương trình đều là các số thực. Chứng minh
Bài 3. Chứng minh là 3 nghiệm của phương trình
Bài 4. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình () là các số nguyên thì là số chính phương.
Bài 5. Biết rằng phương trình có 3 nghiệm dương và các đoạn thẳng mà chiều dài của chúng bằng các nghiệm trên là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng
Hệ phương trình đối xứng ba biến
Áp dụng định lí Vi-ét đảo, ta có: a, b, c là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm. Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .Bài tập vận dụng. Bài 1. Giải hệ phương trình :Bài 2. Giải hệ phương trình:Bài 3. Giải hệ phương trình:
Bất đẳng thức đối xứng ba biến
Một số bất đẳng thức đối xứng ba biến quen thuộc. Trong phần này ta đồng nhất kí hiệu của đa thức đối xứng ba biến cơ sở như sau
Ứng dụng của a thức đối xứng-xem đầy đủ nội dung
mot-so-ung-dung-cua-da-thuc-doi-xung-ba-bien
CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN
