Lý thuyết cực trị hàm số
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là ; là ) và điểm .
Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại .
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên hoặc trên , với .
Nếu trên khoảng và trên thì là một điểm cực đại của hàm số .
Nếu trên khoảng và trên thì là một điểm cực tiểu của hàm số .
Minh họa bằng bảng biến thiến
Chú ý.
Nếu hàm sốđạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là , còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
Quy tắc tìm cực trị của hàm số:
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính. Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính. Giải phương trình và ký hiệu là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính và .
Bước 4. Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của điểm .
Lý thuyết cực trị hàm số- xem toàn bộ tài liệu
Ví dụ 1: Dùng quy tắc II, tìm điểm cực trị của hàm số
Hướng dẫn giải:
Tập xác định
;
;
;
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là
và điểm cực đại của hàm số là
Ví dụ 2: hãy tìm các điểm cực trị của hàm số:
TXĐ:
Hàm số đạt cực đại tại , (yCĐ = )
Hàm số đạt cực tiểu tại , (yCT = )
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đạt cực đại tại ?
A.Không tồn tại . B. . C. . D. .
Giải
Tập xác định
Hàm số đạt cực đại tại
Vậy m=-1 thì Hàm số đạt cực đại tại
Ví dụ 4:: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số , hàm số luôn có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Hướng dẫn giải:
Ta thấy có nên phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và qua hai nghiệm này y’ đổi dấu 2 lần.
Vậy hàm số đã cho luôn có 1 cực đại và 1 cực tiểu với mọi .
Ví dụ 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại .
