Bài giảng giải tích lồi bao gồm:
Tập lồiTập lồi. Bao lồi. Nón lồi. Một số tính chất tô pô của tập lồi. Các định lí táchChương 2: Hàm lồiHàm lồi. Cực tiểu của hàm lồi. Hàm lồi khả vi. Đạo hàm theo hướng của hàm lồi. Dưới vi phân của hàm lồi. Một số nội dung
Định nghĩa hàm lồi:
Cho là một tập lồi không rỗng và Ta nói là một hàm lồi nếu và được gọi là lồi chặt nếu và. Các ví dụ:Ví dụ 1: Cho hàm số Chứng minh rằng là hàm lồi chặt.Chứng minh:
Một số tính chất đơn giản của hàm lồi:
Cho là một tập lồi không rỗng và Trên đồ thị của được định nghĩa là tập. Như vậy Mệnh đề 1: Cho là một tập lồi không rỗng và Lúc đó lồi khi và chỉ khi là tập lồi.Chứng minh: giả sử lồi. Lấy tùy ý ,Ngược lại giả sử lồi, lấy tùy ý và Do nên . Do Suy raVậy lồi.Cho là một tập lồi không rỗng và Tập mức của ứng với được định nghĩa là tập. Vậy
Tập lồi
Mệnh đề 2: Cho là một tập lồi không rỗng và Lúc đó lồi. Lúc đó lồi. Mệnh đề 3: Cho là một tập lồi không rỗng và lồi. Khi đó các hàm cũng là các hàm lồi.Bổ đề 1: Cho là một tập lồi không rỗng và lồi, ( E lồi ) lồi, đơn điệu tăng. Khi đó lồi.Mệnh đề 4: Cho là một tập lồi không rỗng và lồi, không âm. Khi đó cũng là hàm lồi.Hệ quả: Hàm lồi.Định lí: Cho là một tập lồi với không rỗng và lồi. Khi đó liên tục tại mọi điểm trên
Hướng chấp nhận được
Hướng chấp nhận được: Cho là tập không rỗng, Vectơ được gọi là một hướng chấp nhận được của tại nếu tồn tại sao cho. Tập các hướng chấp nhận được của tại kí hiệu là Nó là một cái nón
Đạo hàm theo hướng của hàm lồi:
Cho không rỗng, và Đạo hàm theo hướng của tại theo hướng. được định nghĩa là giới hạn sau. Ta có. Từ định nghĩa của gradient và định nghĩa của đạo hàm theo hướng, ta suy ra rằng nếu và khả vi tại thì
