Bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp lớp 11
Giới thiệu lý thuyết, bài tập và ví dụ minh họa về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Các bài toán hoán vị vòng tròn, xếp người, xếp vât.
Hoán vị là gì?
Cho tập hợp A có n phần tử . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn. Định lí 1: với Pn là số các hoán vị
chứng minh
Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một công việc gồm n công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách
Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách
Công đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có cách..
Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có 1 cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có hoán vị.
| Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau. |
Chỉnh hợp là gì?
Cho tập A gồm n phần tử .
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho.
| Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp A có n phần tử là một chỉnh hợp chập n của A. |
Định lý 2: với là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử .
Chứng minh
Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là một công việc gồm k công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách thực hiện.
Công đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có cách thực hiện.
Sau khi thực hiện xong công đoạn (chọn phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2,., ), công đoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có cách thực hiện. Công đoạn cuối, công đoạn k có cách thực hiện. Thoe quy tắc nhân thì có chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử
Tổ hợp là gì?
Giả sử tập A có n phần tử . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là .
| Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện . Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. |
Ta có mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Vậy .
Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số )Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . Khi đó .Hằng đẳng thức Pascal. Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với . Khi đó .
Trên máy tính cầm tay có chức năng tính tổ hợp, chỉnh hợp như sau:Với tổ hợp ta nhấn tổ hợp phím. Ví dụ ta muốn tính ta ấn. Với chỉnh hợp ta ấn tổ hợp phím. Ví dụ ta muốn tính ta ấn tổ hợp phím.
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.doc
