Phương pháp quy nạp toán học- Lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập

Phương pháp quy nạp toán học

Tài liệu giới thiệu lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương pháp chứng minh quy nạp. Các bước chứng minh một mệnh đề  bằng phương pháp quy nạp. Trước hết chúng ta hãy nắm lý thuyết.

Các bước chứng minh một mệnh đề bằng quy nạp:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n thuộc N^* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ( k lớn hơn hoặc bằng 1) (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Đó là phương pháp qui nạp toán học.

Các bài toán chứng minh bằng quy nạp:

Ví dị 1:  Chứng minh rằng với mọi n thuộc N^*, ta có:1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² (*). Chứng minh: + Với n=1, ta có 1=1². Vậy mệnh đề đúng với n=1. Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k lớn hơn hoặc bằng 1), tức là ta có:1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k².

Cần chứng minh 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)+(2k+1) = (k+1)².Thật vậy ta có: 1+ 3 + 5 + … + (2k – 1)+(2k+1) = k² +2k+1=(k+1)². Suy ra  mệnh đề đúng với n=k+1. Vậy mệnh đề đúng với mọi n thuộc N^*.

Chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán học

Ví dụ 2: CMR với  mọi n thuộc N* ta có đẳng thức: 2 + 4 + 6 +…+ 2n = n(n + 1)   (1). Giải: Với n=1, ta có 2=1(1+1), suy ra (1) đúng với n=1. Giả sử (1) đúng với n=k( k lớn hơn hoặc bằng 1), tức ta có: 2 + 4 + 6 +…+ 2k = k(k + 1).

Cần chứng minh (1) đúng với n=k+1, Tức là chứng minh 2 + 4 + 6 +…+ 2k+2k+2 = (k + 1)(k+2). Thật vậy: 2 + 4 + 6 +…+ 2k+2k+2 =k(k + 1)+2k+2=k²+3k+2=(k+1)(k+2). Suy sa (1) đúng với n=k+1. Vậy mệnh đề được chứng minh

VD2: Chứng minh rằng với n Îthuộc N^* thì  A_n = n³ – n chia hết cho 3.

Phương pháp qui nạp toán học- xem đầy đủ nội dung

TẢI VỀ