Độ đo và tích phân Lebesgue
Tài liệu giới thiệu giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân Lebesgue. Các ví dụ minh họa và các bất đẳng thức đẹp trong không gian như bất đẳng thức chu.
Các bất đăng thức đẹp trong không gian
Tài liệu gồm hai phần: phần đầu sơ lược tìm hiểu về tích phân Lebesgue, phần thứ hai tìm hiểu một số bất đẳng thức trong không gian Lp.
Mục đích của tài liệu đưa ra một số chứng minh đơn giản. bằng côn cụ giải tích cho Bất đẳng thức Đẳng chu, một bất đẳng thức thú vị trong hình học.
Có thể nói gọn Bất đẳng thức Đẳng chu như sau:. “Trong các hình trên mặt phẳng có cùng chu vi thì hình tròn là hình có diện tích lớn nhất.”
Bất đẳng thức Đẳng chu bắt nguồn từ bài toán của Queen Dido (năm 900 trước Công nguyên). khi bà được cho một mảnh đất ở ven biển được bao quanh bởi sợi dây da bò được vua ban.
Bất đẳng thức đẹp này xuất hiện nhiều nơi, nhiều khía cạnh trong Toán học với nhiều chứng minh đẹp. Chứng minh trong Khóa luận của em được đưa ra bởi A. Hurwitz vào năm 1901.
Để tìm hiểu chứng minh này, em xuất phát từ việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue trong Chương Sau đó em tìm hiểu về không gian Lp và các bất đẳng thức Wirtinger và Poincare.
Đặt biệt trong không gian Lp nhờ có khái niệm trực giao(do có tích vô hướng) và có một hệ trực chuẩn đầy đủ đẹp. đưa ra chứng minh đơn giản với hằng số tốt nhất cho các bất đẳng thức Wirtinger và Poincare.
Nhờ đó dẫn đến chứng minh cho Bất đẳng thức Đẳng chu.
