Số chính phương-Các dạng toán về số chính phương có lời giải

Số chính phương

Chúng tôi giới thiệu lý thuyết và bài tập số chính phương toán lớp 8. Tài liệu có ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết. Là tài liệu bổ ích cho thầy cô và các em học sinh.

Số chính phương- Một số kiến thức cơ bản

Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác

Ví dụ:

4 = 2²; 9 = 3²

A = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)² = B²

+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 2³ thì chia hết cho 2⁴,…

+ Số  =  a thì  = 9a 9a + 1 =   + 1 = 10ⁿ

1. Một số bài toán:
2. Bài 1:

Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư  0 hoặc 1

Giải

Gọi A = n² (n N)

1. a) xét n = 3k (k N) A = 9k² nên chia hết cho 3

n = 3k  1 (k N)  A = 9k²  6k + 1, chia cho 3 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

1. b) n = 2k (k N) thì A = 4k² chia hết cho 4

n = 2k +1 (k N) thì A = 4k² + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

Chú ý:  + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)

2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương
3. a) M = 1992² + 1993² + 1994²
4. b) N = 1992² + 1993² + 1994² + 1995²
5. c) P = 1 + 9¹⁰⁰ + 94¹⁰⁰ + 1994¹⁰⁰
6. d) Q = 1² + 2² + …+ 100²
7. e) R = 1³ + 2³ + … + 100³

Giải

1. a) các số 1993², 1994² chia cho 3 dư 1, còn 1992² chia hết cho 3 M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương
2. b) N = 1992² + 1993² + 1994² + 1995² gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương
3. c) P = 1 + 9¹⁰⁰ + 94¹⁰⁰ + 1994¹⁰⁰ chia 4 dư 2 nên không là số chính phương
4. d) Q = 1² + 2² + …+ 100²

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương

1. e) R = 1³ + 2³ + … + 100³

Gọi A_k = 1 + 2 +… + k =  , A_{k – 1} = 1 + 2 +… + k =

Ta có: A_k² – A_{k -1}² = k³ khi đó:

1³ = A₁²

2³ = A₂² – A₁²

…………………

n³ = A_n² = A_{n – 1}²

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:

1³ + 2³ + … +n³ = A_n² =  là số chính phương

3. Bài 3:

CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương.

1. a) A = (10ⁿ +10^n-1 +…+.10 +1)(10 ⁿ⁺¹ + 5) + 1

A =  ()(10 ⁿ⁺¹ + 5) + 1

Đặt a = 10ⁿ⁺¹ thì A =   (a + 5) + 1 =

1. b) B = 6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)

B =  + 1 =  . 10ⁿ +  + 1 = . 10ⁿ + 5 + 1

Đặt  = a thì 10ⁿ = 9a + 1 nên

B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a² + 6a + 1 = (3a + 1)² =

1. c) C =.+ + 1

Đặt a =  Thì C =  + 4.  + 1 =  a. 10ⁿ + a + 4 a + 1

= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a² + 6a + 1 = (3a + 1)²

1. d) D = 81 . Đặt  = a  10ⁿ = a + 1

D = . 10^{n + 2} + 8. 10^{n + 1} + 1 = a . 100 . 10ⁿ + 80. 10ⁿ + 1

= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a² + 180a + 81 = (10a + 9)² = ()²

2. e) E = 5 = 00 + 25 = .10^{n + 2} + 2. 00 + 25

= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a² + 300a + 25 = (30a + 5)² = (5)²

4. f) F = = 4. là số chính phương thì  là số chính phương

Số  là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1

Thật vậy: (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 chia 4 dư 1

có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3

vậy  không là số chính phương nên F =   không là số chính phương

Bài 4:

1. a) Cho các số A = ; B = ;  C =

CMR: A + B + C + 8  là số chính phương .

Ta có: A  ; B =   ; C =    Nên:

A + B + C + 8  =  +  +  + 8 =

=  =

1. b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y⁴ là số chính phương.

A = (x² + 5xy + 4y²) (x² + 5xy + 6y²) + y⁴

= (x² + 5xy + 4y²) [(x² + 5xy + 4y²) + 2y²) + y⁴

= (x² + 5xy + 4y²)² + 2(x² + 5xy + 4y²).y² + y⁴ = [(x² + 5xy + 4y²) + y²)²

= (x² + 5xy + 5y²)²

Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương

1. a) n² – n + 2 b) n⁵ – n + 2

Giải

1. a) Với n = 1 thì n² – n + 2 = 2 không là số chính phương

Với n = 2 thì  n² – n + 2 = 4 là số chính phương

Với n > 2 thì  n² – n + 2 không là số chính phương Vì

(n – 1)² = n² – (2n – 1) < n² – (n – 2) < n²

1. b) Ta có n⁵ – n chia hết cho 5 Vì

n⁵ – n = (n² – 1).n.(n² + 1)

Với n = 5k thì n chia hết cho 5

Với n = 5k  1 thì n² – 1 chia hết cho 5

Với n = 5k  2 thì n² + 1 chia hết cho 5

Nên  n⁵ – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên  n⁵ – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên

n⁵ – n + 2 không là số chính phương

Vậy : Không có giá trị nào của n  thoã mãn bài toán

Bài 6 :

a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

1. b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Giải

Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3

Với a = 4k + 1 thì  a = 4k² + 4k + 1 – 4k² = (2k + 1)² – (2k)²

Với a = 4k + 3 thì a = (4k² + 8k + 4) – (4k² + 4k + 1) = (2k + 2)² – (2k + 1)²

b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên

A = (10k  3)² =100k²  60k + 9 = 10.(10k² 6) + 9

Số chục của A là 10k²  6 là số chẵn (đpcm)

Bài 7:

Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị

Giải

Gọi n² = (10a + b)² = 10.(10a² + 2ab) + b² nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận cùng của b²

Theo đề bài , chữ số hàng chục của n² là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b² phải lẻ

Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b² = 16, b² = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ, chúng đều tận cùng bằng 6

Vậy : n² có chữ số hàng đơn vị là 6

Bài tập về nhà:

Bài 1:  Các số sau đây, số nào là số chính phương

1. a) A = 4 b) B = 11115556 c) C = 25                             d) D = 9            e) M =–              f) N = 1² + 2² + …… + 56²

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương

1. a) n³ – n + 2
2. b) n⁴ – n + 2

Bài 3: Chứng minh rằng

a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương

1. b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị

Các dạng toán số chính phương-xem nội dung và tải về

Tải về PDF

Tải về WORD